El origen de las potencias se remonta entre el Siglo III y el Siglo IV, cuando el matemático griego Diofanto de Alejandría utilizó símbolos para expresar que había dicha potencia en una cifra. Más adelante, Descartes empleó los signos que se conocen actualmente de la potencia. Estos matemáticos de la antigüedad, consideraban que la potenciación era una manera resumida de realizar una multiplicación.
La potencia es el resultado de multiplicar cierto número por una cantidad de veces por sí mismo; acorde a la cifra a la cual se encuentra elevado. Esta cifra elevada se conoce como índice, exponente o potencia. La radicación es la operación matemática opuesta a ésta. Cuando la potencia tiene como exponente el número 2, se le conoce por cuadrados perfectos.
La potencia se expresa en el extremo derecho superior de un valor y especifica la cantidad de veces por la cual se va a multiplicar. Por tanto, si se tiene el número cinco elevado a la dos (5^2), se establece que el cinco se va multiplicar dos veces por sí mismo.
Las partes de la potencia son: base, número el cual se va a multiplicar repetidas veces; y el exponente, el indicador de cuántas veces se realizará esta operación.
¿CUALES SON SUS PARTES?
Partes de la potencia
Base
La base es la cifra que se repetirá la misma cantidad de veces que indique el exponente. Esta operación se realiza por medio de multiplicación.
Cuando se tiene por base el número diez (10), simplemente se agrega el número uno (1), después se agrega el número cero (0); tantas veces como la misma cantidad que posea la cifra del exponente. Puesto que lo único que varía, es la cantidad de ceros. Por tanto, si efectúa una potenciación con el diez, sería como en el siguiente ejemplo:
- 10^2 = 10 x 10 = 100 (Dos ceros como tiene el 2 por exponente).
- 10^5 = 10 x 10 x 10 x 10 x 10 = 100,000 (Como el exponente es el número cinco, se añaden cinco ceros).
Si la base de la potencia es positiva y el exponente también, el resultado será positivo. Pero existen casos adicionales donde, la base es negativa. La solución se determinará de acuerdo al valor del exponente. Si el exponente es un número par, será positiva. Sin embargo, si es impar, será negativo. He aquí un breve ejemplo de esta condición:
- (-2)^6 = (-2 x -2 x -2 x -2 x -2 x -2) = 64.
- (-2)^3 = ( -2 x -2 x -2) = -8.
Otro caso especial, pero de las bases, sucede cuando existe una operación donde las bases son iguales. En éste caso, se procede simplemente a sumar los exponentes; sólo si son positivos. He aquí un breve ejemplo de esta circunstancia:
- 3^5 x 3^2 = 3^5 + 2 = 3^7.
En cambio, si las bases son iguales pero se desea dividir, tan simplemente se procede a restar los exponentes. A ésto se le conoce como cociente de potencias. Sería así:
- 5^8 / 5^4 = 5^8 – 4 = 5^4.
Las propiedades distributivas sólo aplican para la multiplicación y división. Aunque las bases sean diferentes, se priorizan las operaciones de potencia, para más tarde proceder a efectuar las operaciones matemáticas de multiplicación o división. He aquí un breve ejemplo:
- (2 x 5)^2 = 2^2 x 5^2 = 4 x 10 = 40.
Como se observa, la misma cifra de la potencia se le aplica a cada base, se realiza para finalizar con la operación final de multiplicar. Sin embargo, si es el caso de un cociente o división. Entonces, en vez de multiplicar al final de la potenciación, se procedería a dividir. Por ejemplo:
- (6 / 3)^2 = 6^2 / 3^2 = 36 / 9 = 4.
Exponente
También conocida como índice o potencia, el exponente es la cantidad de veces por la cual se va a multiplicar la base. Los exponentes pueden ser positivos, negativos, par, impar y fraccionarios.
Se habla de potencias con exponente natural cuando la base tiene por exponente el número cero (0) o uno (1).
Si el número de exponente es cero. La potencia dará por resultado el número 1. Como se observa en este ejemplo:
- 4^0 = 1.
- b^0 = 1.
Por otro lado, si el exponente es uno. El resultado será el mismo número. Como se puede apreciar acá en éstos breves ejemplos:
- 4^1 = 4.
- b^1 = b.
En cambio, también se pueden realizar otro tipo de operaciones con las potencias. Se pueden efectuar multiplicaciones o divisiones. Incluso, se pueden realizar una potenciación de una cifra que ya posee un exponente (potencia de una potencia). He aquí un ejemplo de esta situación donde ya existe una potencia:
- (4^2)^3 = 4^2 x 3 = 4^6.
Se mantiene la misma base, pero se multiplican los exponentes. Este caso sólo se dan en bases positivas.
Hay que tomar en cuenta que la potencia no es distributiva con relación a la suma y resta. No se puede distribuir si la base está dentro de un paréntesis. Por ello, se observa en este ejemplo lo expresado:
- (6 + 2)^3 = 8^3 = 512.
Como ya existe una operación dentro del paréntesis, se procede a resolverla y luego se efectúa la potencia.
Cabe mencionar que los problemas con potencia también se aplican en fracciones, en decimales, en cuadrados de binomio y cubos de binomio.
- Cuadrado de binomio: (a + b)^2 = a^2 + b^2 = 2.a.b.
- Cubo de binomio: (a + b)^3 = a^3 + 3.a^2.b + 3.a.b^2 + b^3.
